| 講師 | 吉田健一 准教授 |
|---|---|
| 開講部局 | 理学部／理学研究科 2006年度 前期 |
| 関連部局 | 多元数理科学研究科 |
| 対象者 | 理学部1年生全学開放科目 (2単位・週1回全15回) |
身近な題材（ここでは正多面体）を通じて、 数理学科以外に志望する学生にも数学 （トポロジー、離散数学、群論）の考え方 に触れる機会を作ることである。また、１つ のものを多角的に見る物の見方にも慣れて もらう。
この講義では、１年生の通常の講義(微分積分、線形代数)と異なり、
カリキュラムにおいて固定されている部分がない。一方で、
まだ数学的予備知識の少ない１年生相手の講義なので、高校生でも分かる
題材を選び、できるだけ数学の先端の一部を紹介できるよう務めた。
結果として、正多面体という古くから知られた対象を選んだが、正多面体
が５種類しかないという事実はともかく、具体的な形を認識できていない
学生も多く見られたので、それなりの効果はあっただろう。
講義としては２回程ＯＨＰを使用してみた。数学の講義においては、 証明や言葉の定義などについてある程度説明を聞きながら黒板を写す必要性から、 一般にＯＨＰはあまり用いられていないようである。しかしながら、 この講義では図形なども多く現れるため、敢えて使用することで視覚から訴えた。
最後のレポート問題においてオリジナルの問題の作成を要求した。 問題を作る難しさを味わってもらうことで、定理の重要性を認識すること を期待して出題した。見られた解答には、定理の適用例にしか過ぎないものも 多かったが、出題者の意図は組んでいると思われる。また、積極的に インターネットを活用して調べた結果、講義に出てきたいくつかの キーワードが意外と身近な応用と関連していることに気づいた、と指摘してきた ものも見られた。
講義の目的は、正多面体(特異点)のような具体的な対象を通じて、今後学ぶであろう種々の数学の考え方に触れてもらうことである。
前半は正多面体をトポロジーの視点で取り扱う。 正多面体はプラトンの立体とも呼ばれ、古くから知られている。 これは(３次元の中の)凸多面体の特別な場合と認識することができる。 凸多面体に関しては、面、辺、頂点の個数に関して有名なオイラーの多面体公式が知られている。 このような公式を利用して、正多面体を分類することから始める。 さらに、オイラーの公式をいろいろな角度から見ることにより少しずつ数学の奥に入っていくことができるようにしたい。
また、正多面体は「いろいろな対称性」を持っている。 後半はこれを【群】という道具を利用して理解してもらう。
最終的には、マッカイ対応と呼ばれる不思議な対応にそって正多面体がいろいろな数学と結び付いていく様子を観察する。
前半は正多面体の分類から始める。特に、正多面体を凸多面体とみなし、頂点、辺、面の個数に関するオイラーの公式が（トポロジーの視点から）拡張していく様子を見る。
後半は正多面体の（合同）変換群を例にして群論の考え方を学ぶ。
その他、ユークリッドの互除法、ガロア理論などのトピックスも扱う。
高校程度の数学の知識があれば良い。
具体的な対象を題材として取り上げていることを利用して、自分の手で確かめてみることが良い。特に、正多面体の模型を自分で作ってみるのもお薦めである。
講義は８：４５から始める。最初に講義要約を配布する。 また、講義を理解するための練習問題も出す予定なので、各自で解いて欲しい。
第１回レポートのねらいは、講義で証明した定理を自分でまとめる習慣をつけてもらうことである。ノートを取らない学生が増えていることに対する警鐘でもある。
第２回レポートでは実際に問題を解いてもらうことを目的としている。いわゆる標準的なレポートである。
第３回レポートでは、自分で調べ、自分で問題を作る、という自主性を重んじた出題形式としている。ネットで調べたものを出すだけでは採点の対象にならないことに注意して欲しい。
| 回 | 講義内容 |
|---|---|
| 1 | −講義の概要、シラバス配布 |
| 2 | −正多面体とは何か？（オイラーの多面体公式） |
| 3 | −正多面体の仲間達（サッカーボールと正20面体） |
| 4 |
−凸多面体のｆ列の特徴付け （与えられた頂点数、辺数、面数を持つ凸多面体は存在するか）
|
| 5 | −単体的複体（正多面体の展開図との関係 |
| 6 | −閉多面体曲面のオイラー数（三角形分割 |
| 7 | −ユークリッドの互除法（最大公約数の計算方法） |
| 8 | −正多角形の対称性 |
| 9 | −正多面体群(1)（正４面体群） |
| 10 | −正多面体群(2)（正６面体群） |
| 11 | −正多面体群(3)（正20面体群他） |
| 12 | −正多面体群のまとめ（練習問題） |
| 13 | −３次方程式の解法（カルダノの公式） |
| 14 | −４次方程式の解法、ガロアの理論の紹介 |
| 15 | −講義の背景〜マッカイ対応とその周辺 |
第 1 回 講義の概要、シラバス配布
第 2 回 正多面体とは何か？（オイラーの多面体公式）
第 3 回 正多面体の仲間達（サッカーボールと正 20 面体）
第 4 回 凸多面体のｆ列の特徴付け
（与えられた頂点数、辺数、面数を持つ凸多面体は存在するか）
第 5 回 単体的複体（正多面体の展開図との関係）
第 6 回 閉多面体曲面のオイラー数（三角形分割）
第 7 回 ユークリッドの互除法（最大公約数の計算方法）
第 8 回 正多角形の対称性
第 9 回 正多面体群(1)（正４面体群）
第 10 回 正多面体群(2)（正６面体群）
第 11 回 正多面体群(3)（正 20 面体群他）
第 12 回 正多面体群のまとめ（練習問題）
第 13 回 ３次方程式の解法（カルダノの公式）
第 14 回 ４次方程式の解法、ガロアの理論の紹介
成績は３回のレポートを中心に評価し、数回取る出席状況を参考にする。
以上の各回のレポートにおいて３段階評価をし、全体として標準以上であること、 規定の回数のレポートを提出している者を原則として優とする。
合格の最低基準は２回以上のレポートを提出していることである。 また、出席回数が極端に少ない場合は負の評価を加える。
May 10, 2020