微分積分学II-2015

授業の内容

以下の授業内容は標準的に教えられるものであり，講義の順序を示すものではない．また，クラスによっては，さらに進んだ内容が教えられる場合もある．実際の講義予定は別に提示する．

１．多変数関数の極限と連続性 多変数関数（特に２変数関数）の極限に関する基本的事項と連続関数の基本性質を学ぶ．
（キーワード）ユークリッド距離，点列の極限，多変数関数の極限と連続性
（発展的内容）近傍，開集合，閉集合，連続関数の性質

２．多変数関数の微分法 多変数関数（特に２変数関数）について微分法の基礎を理解する．さらにそれを用いて，平面上の関数の様々な性質について調べられるようにし，極値問題などへの応用を学ぶ．
（キーワード）偏微分と方向微分，合成関数の偏微分，テイラーの定理，高階偏導関数，極値問題
（発展的内容）全微分，接平面の方程式，座標変換，勾配ベクトル，二次形式としてのヘシアン，陰関数定理，ラグランジュの未定乗数法，多変数関数

３．多変数関数の積分法 重積分の意味を理解し，累次積分による積分計算に習熟する．さらに，極座標変換などの例を通して，変数変換とその重積分への応用を学ぶ．
（キーワード）重積分，累次積分，変数変換，ヤコビアン
（発展的内容）積分順序交換，曲面積と体積，（多変数）広義積分，線積分，グリーンの定理

授業の工夫

前期に引き続いての微積分である。主に２変数の関数を扱う。
これにより、大学での解析学の基礎を終えることになる。
基礎とはいえ、過去の膨大な成果から抽出された内容であるから、その威力たるや絶大なものがあり、 さまざまな問題に切りこんでいけるだけの広がりと深さをもつものとなっている。
そのためには、単発の定理・公式の羅列でない有機的なつながりを意識して学ぶ必要があるが、
注いだ労力以上に報われることであろう。

本授業の目的およびねらい

定量的変化を記述・分析する数学の分野が解析学であり，その中心的方法は微分・積分である．これらの方法は自然科学において必須の研究手法であるが，近年はさらに社会科学などにも広く応用されている．本科目は通年講義の後半として，多変数微分積分学の基本を理解し，様々の計算に習熟して応用できるようになることを目的とする．特に多変数関数のグラフなどを通して幾何学（空間）的イメージ，線形代数と結び付いた理解を重視する．

履修条件あるいは関連する科目等

高校数学，微分積分学Ｉの内容を既知とする．微分積分学Ｉとあわせて完結した講義となる．

注意事項

１時間の授業に対して、２時間の自主学習が想定されているという。

参考書

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/calculus/tenarai2015.pdf

本授業に関する参照 Web ページ

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html

講義資料

微積分 Ⅱ

成績評価の方法

中テスト３回（各２０％）＋期末テスト（４０％）の合計点で評価する。
受けた試験の配点の合計が総配点の６割に達しない場合は欠試の扱いとする。

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