微分積分学I-2015

授業の内容

以下の授業内容は標準的に教えられるものであり、講義の順序を示すものではない。また、クラスによっては、さらに進んだ内容が教えられる場合もある。実際の講義予定は別に提示する。

1. 数列・関数の極限と連続性

• 数列・関数の極限に関する基本的事項と連続関数の基本性質を学ぶ。
  
• (キーワード) 数列・関数の極限、有界単調数列の収束定理、連続関数の基本性質とその応用
  
• (発展的内容) 実数の連続性・完備性、区間縮小法、収束・発散の速さの評価、ε－Ν論法、ε－δ論法
  

2. 一変数関数の微分法

• 微分の基本的性質およびその解析・幾何・物理的な意味について理解する。さらに、微分法を用いて関数の様々な性質について調べられるようにする。
  
• (キーワード) 微分の定義と幾何的意味、導関数と基本公式、初等関数の逆関数とその導関数、平均値の定理、高階導関数、テイラーの定理、不定形の極限
  
• (発展的内容) 接線、平均値の定理の応用、極値問題、近似計算と誤差の評価、漸近展開、(無限次) テイラー展開、べき級数の収束半径、凸性
  

3. 一変数関数の積分法

• リーマン積分を通して定積分を理解する。さらに、広義積分について学習する。
  
• (キーワード) 区分求積法、定積分、不定積分、微積分学の基本定理、広義積分
  
• (発展的内容) 種々の関数の積分法、部分分数展開、連続関数の積分可能性、曲線の長さ、広義積分の収束発散の判定、ガンマ関数、ベータ関数、直交多項式
  

授業の工夫

1 変数関数の微分積分といえば、すでに高校でほとんどのことを学んだと思われるかもしれませんが、実は基礎の部分をもう少し固める必要があります。例えば、関数がある点で連続であるというのはどういうことでしょうか? グラフを描いたりすることで感覚的には理解できるかもしれませんが、それだけではグラフを簡単に描けないような複雑な関数の扱いに困ってしまいます。直感も大事ですが、それに頼り切らずに定義からひとつひとつ積み上げる事で、すでに知っている (つもりの) ことがらも含めて丁寧にみていきたいと思います。

また、数学の勉強はある意味で外国語を学ぶことに似ています。授業内での定理の証明と解説を通して、単に計算ができるだけでなく、数学の「文法」に慣れて、自分の頭の中にあるアイデアを正確に表現できるようになってもらえたらうれしいです。

授業のねらい

定量的変化を記述・分析する数学の分野が解析学であり、その中心的方法は微分・積分である。これらの方法は自然科学において必須の研究手法であるが、近年はさらに社会科学などにも広く応用されている。本科目は通年講義の前半として、一変数微分積分学の基本を理解することを目的とする。特に極限の本質を理解し、対数関数・三角関数など初等関数の自在な解析学的取扱いができるようになることを重視する。

履修条件・関連する科目

高校数学の内容を既知とする。微分積分学 Ⅱ とあわせて完結した講義となる。

教科書

三宅敏恒著『入門微分積分』培風館

参考書

講義中に必要に応じて紹介する。

注意事項

授業時間が限られているので問題演習の時間がとれません。よって自宅での復習・演習が不可欠です。

講義ノート

講義ノート

宿題リスト

成績評価の方法

主に中間試験・期末試験の成績により評価する。レポートの成績を加味することがある。 なお定期試験を放棄した場合には、基本的に「欠席」として扱う。

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