線形代数-Ⅰ-2016

授業の工夫

単純なことを徹底的にすることがものごとの役に立つという。
数学でこれに当てはまるのが一次式の理論＝線型代数といえようか。
一方、数学の形態として見た場合、線型代数には、代数計算の形式、幾何学的直感、それと推論に伴う論理の形式、という３つの側面が認められる。
手と目と頭ということであるが、これを同時に鍛えるためには、簡単な稽古を厭わぬ勤勉さが肝要。
いずれにせよ、かけた労力よりもはるかに多くの見返りが期待できることだけは断言できる。

本授業の目的およびねらい

「線形性」は近代科学における数量的取り扱いの最も基本的な概念であり，さまざまな分野で用いられる。その線形性を数学的に扱う手法を与えるのが線形代数学である。本科目は通年講義の前半として，行列の数学的取り扱いに習熟し，諸概念を理解することを目的とする。特に，座標幾何学（平面，空間）による幾何学的理解，連立一次方程式の解法への習熟，行列式の概念の理解を重視する。

履修条件あるいは関連する科目等

高校数学の内容を既知とする。線形代数学ＩＩとあわせて完結した講義となる。

授業内容

以下の授業内容は標準的に教えられるものであり，講義の順序を示すものではない。実際の講義予定は別に提示する。

1. 空間図形（空間内の平面と直線）
   空間内の基本的な図形である直線，平面の方程式や方向ベクトル，法線ベクトルなどを通して，方程式に対する幾何的感覚を養う。
   （キーワード）直線の方程式，平面の方程式，方向ベクトル，法線ベクトル，内積
   （発展的内容）外積，空間ベクトルに対する線形結合，線形独立・従属，球面の方程式

2. 行列
   行列の基礎概念を理解し，その演算法則に習熟する。
   （キーワード）行列の演算，単位行列，正則行列，逆行列，対角行列，転置行列
   （発展的内容）三角行列，行列の分割，実対称行列，直交行列

3. 行列の基本変形と連立一次方程式
   行列の基本変形により階数の概念を理解し，連立一次方程式の掃き出し法による解法との関係を理解する。また，正則行列の判定と逆行列の計算法にも習熟する。
   （キーワード）連立一次方程式，基本変形，拡大係数行列，行列の階数，解の自由度，逆行列の計算

4. 行列式
   行列式の基本性質，幾何的意味を理解し，行列式の計算に習熟する。また，行列の正則性と行列式の関係などについて学ぶ。
   （キーワード）行列式の基本性質，行列式の展開，余因子
   （発展的内容）置換，クラメールの公式，余因子行列と逆行列，平行６面体の体積

成績評価

中テスト３回（各２０％）＋期末テスト（４０％）の合計点で評価する。
受けた試験の配点の合計が総配点の６割に達しない場合は欠試の扱いとする。

教科書

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/linear/linear2016.pdf

参考書

1. 松坂和夫「線型代数入門」岩波書店
2. 金子 晃「線形代数講義」 サイエンス社
3. 斎藤正彦著「線型代数入門」(基礎数学 1) 東大出版会
4. 長谷川浩司「線型代数」日本評論社

注意事項

１時間の授業に対して、２時間の自主学習が想定されているという。

本授業に関する参照 Web ぺージ

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html

一括ファイル

行列代数あれこれ

分割ファイル

1 行列事始め

2 直線と平面の幾何学

3 行列とその計算

4 2 次・3 次の行列式

5 一般の行列式

6 行列式の特徴づけ

7 連立一次方程式

8 逆行列と基底

9 部分空間の双対性

10 行列の対角化

11 ベクトル空間と線形写像

12 線型作用素

13 内積空間

14 エルミート共役

15 対称行列と二次形式

16 平面と空間の一次式変換

付録

本授業に関する参照 Web ページ

参照 Web ページ

---