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授業ホームシラバス講義資料

講義の目的

実数を成分とする二次の正則行列の全体を S L(2, R) という. S L(2, R) は群でありしかも多 様体の構造が入る, すなわちリー群の典型的なものの一つである. このリー群の既約ユニタリ 表現の分類は半世紀以上前に完了している. その様子を解説する.

講義予定

<

p>一次分数変換(リーマン球面の共形変換群)の復習から入る. 関数空間へ誘導される群の作用を微分することで, 3次元単純リー環 sl(2) の関係式とその表現を導入する. 合わせて, リー 群とリー環の対応をこの例で説明する. また, キリング形式, カシミール作用素を計算する.

ここで構成した表現をウエイトや昇降演算子を使って解析する. ユニタリ性, 既約性の判定 が鍵である. これらの総合的結論として, S L(2, R) の既約ユニタリ表現が, 球主系列表現, 非 球主系列表現, 補系列表現, 正則離散系列表現とその極限, 反正則離散系列表現とその極限, お よび自明表現に分類されることを解説する.

時間に余裕があれば, S L(2, R) の被覆群の既約ユニタリ表現や, 得られた表現の指標, 跡公 式にも触れたい.

キーワード

リー群, リー環, ウエイト, 昇降演算子, 既約表現, ユニタリ表現

履修に必要な知識

予備知識として数理学科の指定する「レベル1」までを仮定する.

他学科学生の聴講

履修に必要な知識がある限り, 学部学科を問わず歓迎します.

履修の際のアドバイス

この講義並びに演習では, レベル1の知識までしか仮定しないので, 多様体, リー群, リー環, 普遍包絡環, ルート系, 被覆空間, 岩沢分解などはあらかじめ知らなく てもかまわない.

教科書

R. Howe and E.C. Tan, Non-abelian Harmonic Analysis, Springer Verlag.
ただし教科書の一部しか使わないので購入しなくても講義は聴ける.

参考書

A. Knapp, Representation Theory of Semisimple Groups, Princeton University Press.
必要となる事項はこの本に盛り込まれている.

スケジュール

講義内容
4/16 リー群のリー環の対応
4/23 群の作用と微分表現
4/30 sl(2)の表現とウェイト
5/7 ユニタリ、既約性の判定と分類

*残りの講義は他の先生が担当します。

成績評価

授業参加(出席)と課題提出(レポート)を総合的に評価して行なう.

最終更新日:2009年06月25日
最終更新日の時点の講義内容で公開を行っております。
最新年度の講義と内容が異なる可能性がありますのでご注意ください。

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