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授業ホームシラバス講義資料

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開講部局:理学部・理学研究科

糸健太郎 准教授

数学展望 I

授業時間 2015年度前期月曜1限
対象者 理学部1年生
全学開放科目
2単位、週1回全15回

授業の内容

有理数を高校までとは全く違った視点から特に幾何学的に考察する方法を学ぶ。具体的には連分数、フォードの円、双曲幾何の順に解説する。連分数とは有理数を入れ子状の分数で表したものである。計算には向かないが面白い性質を多く持っており、有理数や無理数に対する新たな見地が開けるだろう。次に各有理数に対応したフォードの円を学ぶ。このフォードの円を使うと、有理数同士の関係が幾何学的に理解できるようになる。またこのフォードの円は連分数と大変相性がよいのも特色である。以上の有理数とフォードの円の対応は、実は双曲幾何学を通してみると自然に理解できるものとなっている。講義の終盤ではこの双曲幾何の解説をする。双曲幾何とは通常のユークリッド幾何とは違い、「平行線の公理」を仮定しないで成り立つ幾何学である。この双曲幾何を円の反転を用いて初等的に説明する。

授業の工夫

予備知識を仮定せずに高校までの知識で楽しめる話題を選んだ。連分数やフォードの円は高校や大学の正規の課程では扱わないが、初等的に説明できることも多く現代数学にもつながるテーマでもあるので、このような講義にうってつけの話題であると考えた。フォードの円はそのなじみやすさにもかかわらず解説してある日本語の本が見当たらないので、この機会に紹介したいと考えた。授業では図を多用して議論を視覚的に理解できるように工夫した。またフォードの円が無理数に収束していく様子を示すコンピュータ動画を作成して学生に見せた。

最終更新日:2015年11月04日
最終更新日の時点の講義内容で公開を行っております。
最新年度の講義と内容が異なる可能性がありますのでご注意ください。

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