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開講部局:多元数理科学研究科

納谷信 教授

幾何学要論I 曲線と曲面の幾何

授業時間 2012年度前期月曜3、4限
対象者 理学部多元数理学科3年生

6単位、週1回全15回

授業の目標

幾何学とは, 図形や空間の性質を調べる数学である. この講義では, 幾何学への入門として, おもに線形代数や微積分法を用いてR3内の曲線・曲面の性質を調べる方法を学ぶ.

講義の目標の第一段階は, 曲率の概念を理解し, 具体例について計算が実行できることである. 曲面の場合, 曲率といっても一通りではない. それぞれ曲面の異なる視点からの曲がり具合を表現していることを把握し, とくにガウスの驚きの定理の意味を理解することが次の段階となる.

講義の最終目標は, 曲面の曲率とオイラー数を結びつけるガウス・ボンネの定理とその証明である. この定理を明快に証明するために, 微分形式とストークスの定理にふれることになる.

幾何学の純粋科学としての面白さを伝えるとともに, 時間のゆるす限り, 自然界や日常に現れる曲線・曲面を取り上げるようにし, 幾何学の有用性も伝えるようにしたい. また, 4年前期に学ぶ多様体論への接続に配慮して, 多様体の概念にも言及したいと考えている.

授業の工夫

曲線や曲面の曲がり具合を曲率という量として表現し,その意味を理解することが講義の中心テーマです.したがって,まず曲線や曲面の具体例についてそれらの曲率を計算することが基本であり,なるべく講義中に演習の時間をとって,受講者に手を動かして実際に曲率の計算や公式の導出をしてもらいました.一方,単なる計算に留まらず,曲率の概念的理解も重視し,とくに曲率という量の定式化にいたるまでの理論展開を,飛躍無く丁寧に説明するようにしました.

最終更新日:2014年10月07日
最終更新日の時点の講義内容で公開を行っております。
最新年度の講義と内容が異なる可能性がありますのでご注意ください。

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